Частотно-временной анализ

Практически все реальные физические сигналы, полученные с датчиков, изменяются во времени. В общем случае воспринимаемое датчиком воздействие является суперпозицией полезного сигнала и шума, изменяющихся в широком частотном диапазоне. Проведение частотно-временного анализа сигнала может предоставить специалисту много полезной информации о параметрах воспринимаемого сигнала. Более того, частотно-временной анализ нестационарных сигналов, в том числе анализ со сверх разрешением, позволяет изучить входной сигнал более детально и судить о законах изменения тех или иных параметров с совершенно иной точки зрения: становится заметным дрейф на первый взгляд постоянных воздействий, или определить закон распределения случайных сигналов.

Для проведения частотно-временного анализа разработаны различные методы, в том числе, основанные на различных модификациях преобразования Фурье. В данной статье перечислены программные средства частотно-временного анализа сигналов, реализованные в ZETLАВ.

Введение

Наиболее популярным методом анализа частотных составляющих входного сигнала является преобразование Фурье [5], математическое описание которого выражается формулой (1):

(1)

Преобразование Фурье является довольно мощным математическим аппаратом анализа частотных составляющих сигнала, однако заметим, что коэффициенты получены путем бесконечного зацикливания определенных кадров входного сигнала. Таким образом, спектральный анализ позволяет судить о наличии сигнала той или иной амплитуды на разных частотах, однако не позволяет судить о времени их вступления.

В качестве примера обработки нестационарных сигналов рассмотрим радиоимпульс на фоне белого шума, длительностью 5 секунд, записанный с частотой дискретизации 1 кГц. Осциллограмма входного сигнала представлена на рисунке 1.

Кратковременное преобразование Фурье

Для того, что бы ввести временную зависимость в частотный анализ на основе преобразования Фурье используется метод, основанный на движении кадра вдоль волновой формы сигнала с последующим наложением оконной функции h в окрестности времени t. Данный метод в общем виде описывается формулой (2):

(2)

Рисунок 1 — Нестационарный сигнал s и оконная функция h

Результат работы программы спектрального анализа сигнала типа «Радио импульс» на основе кратковременного преобразования Фурье представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 — Частотно-временной анализ сигналов на основе накопления реализаций кратковременного преобразования Фурье

Таким образом, применяя алгоритм кратковременного спектрального анализа на основе преобразования Фурье, мы получаем локальный спектр в пределах кадра (окна).

Преобразование Вигнера-Вилля

Для входного сигнала s(t), имеющего соответствующий аналитически сопоставленный комплексный сигнал x(t), распределение Вигнера-Вилля [1] (Wigner-Ville Distribution — WVD) WVD_x(t,ω) определяется формулой (3). Распределение впервые было использовано американским физиком-теоретиком Юджином Вигнером при решении задач квантовой механики [3] и позднее улучшено Виллем, применившим данное преобразование в обработке сигналов и спектральном анализе [2].

(3)

где x(t) — комплексный аналитический сигнал и x*(t) комплексный комплексно-сопряженный аналитический сигнал, соответствующие реальному входному сигналу s(t), ω — круговая частота (ω=2πf).

Внешне формула 3 напоминает преобразование Фурье [1] (формула (1)), однако, вместо преобразования исходного сигнала s(t), ядро WVD содержит автокорреляцию определенного вида [4].

Аналитическое сопоставление реального входного сигнала s(t) и аналитического x(t) производится по формуле (4):

(4)

где H[s(t)] — преобразование Гильберта сигнала s(t) [5].

Преобразование Гильберта иногда называют «квадратурным фильтром», преобразованный сигнал «квадратурным сигналом», поскольку преобразование вызывает сдвиг фаз — четырехкратное применение преобразования возвращает сигнал к первоначальному виду, таким образом, каждое преобразование вызывает сдвиг фаз на π/2. H[s(t)] так же называют ортогональным дополнением сигнала s(t) и обозначают s_орт(t). Осциллограммы реальной и мнимой части сигнала представлены на рисунке 3.

Рисунок 3 — Реальная и мнимая часть аналитического сигнала,
реальная часть соответствует входному сигналу,
мнимая — его ортогональному дополнению

Результат работы программы расчета преобразования Вигнера-Вилля WVD входного сигнала приведен на рисунке 4.

Преобразование Вигнера-Вилля дает представление о моменте вступления сигнала с определенной частотой, однако две точки частотно временной области порождают третью, расположенную между ними. Возникающая мнимая часть называется интерференцией. Наличие интерференции не позволяет анализировать результат в случае обработки естественного сигнала, например сейсмического или вибрационного воздействия. Для решения данной задачи используют наложение временных окон, такое преобразование называется псевдо преобразованием Вигнера-Вилля PWVD.

Псевдо преобразование Вигнера-Вилля

Применение псевдо преобразование Вигнера-Вилля можно расценивать как сглаженное WVD преобразование [7]. Математическое описание PWVD выражается формулой (4):

(5)

Результат применения PWVD представлен на рисунке 5.

Рисунок 4 — Результат работы программы, рассчитывающей WVD (преобразование Вигнера-Вилля) входного сигнала s(t)

Рисунок 5 — Результат работы программы, рассчитывающей PWVD (псевдо преобразование Вигнера Вилля) входного сигнала s(t)

Таким образом, PWVD преобразование решает проблему возникновения интерференции во временной области, и позволяет детектировать время вступления волны. Однако не решает проблему возникновения интерференции в частотной области.

Данное явление демонстрируется на примере анализа частотно-модулированного сигнала с линейной разверткой по частоте — ЛинЧМ (осциллограмма представлена на рисунке 6): рисунок 7 — преобразование WVD, рисунок 8 — преобразование PWVD.

Рисунок 6 — Осциллограмма частотно-модулированного сигнала

Рисунок 7 — Результат работы программы, рассчитывающей WVD (преобразование Вигнера Вилля) сигнала ЛинЧМ (Chirp Signal)

Рисунок 8 — Результат работы программы, рассчитывающей PWVD (псевдо преобразование Вигнера Вилля) сигнала ЛинЧМ (Chirp Signal)

Для предотвращения интерференции используется два метода:

1. Использование «Сглаживающего псевдо Вигнер-Вилль преобразования». Отличительной особенностью данного преобразования является наложение оконной функции не только во временной области, но и в частотной.
2. Составление аналитического сигнала таким образом, что б «захватить» небольшую частотную полосу сигнала, которую необходимо проанализировать с высоким разрешением по частоте.

Рисунок 9 — Результат преобразования Вигнера-Вилля с уменьшенным эффектом интерференции
(Reduced Interference Distribution),
преобразования применялись к сигналу ЛинЧМ (Chirp Signal)

О проведении частотно временного анализа со сверх разрешением

Дополнение нулями не улучшает качество разрешающую способность преобразования Фурье, полученной по заданной конечной последовательности данных. Дополнение нулями просто позволяет получить интерполированное преобразование более сглаженной формы. Эквивалентная длительность сигнала и ширина полосы являются взаимно-обратными величинами T_eB_e=1 [8]. Где T_e полагается равным интервалу наблюдения и положено в основу эмпирического правила. Поскольку большинство критериев разрешения касается сигналов, наблюдаемых в некотором временном окне, то для определения эквивалентной длительности и ширины полосы используется это соотношение. Поэтому говорят, что разрешение в Герцах приблизительно равно величине, обратной времени наблюдения. Методы высокого разрешения эффективно экстраполируют измерительный сигнал за пределы интервала наблюдения, поэтому эффективный интервал наблюдения характеризуется большим временем наблюдения. Это говорит о том, что эффективная величина T_e становится больше, поэтому величина B_e становится меньше, и следовательно, разрешение становится выше.
Автор статьи: Красовский А.А.

В статье была использована следующая литература:
1. //case.caltech.edu/tfr/
2. //case.caltech.edu/1906/bradford_poster.pdf
3. E. Wigner. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Physical Review, 40:749–759, June 1932
4. P. Flandrin and W. Martin. The Wigner Ville Spectrum of Nonstationary Random Signals. «The Wigner Distribution: Theory and Applications in Signal Processing,» edited by Mecklenbrauker, W. and Hlwatsch, F., ELSEVIER Ltd, 1997
5. //www.dsplib.ru/content/hilbert/hilbert.html
6. Сергиенко, А.Б. Алгоритмы адаптивной фильтрации: особенности реализации в MATLAB [Текст] / А.Б. Сергиенко // Математика в приложениях. −2003. -№ 1. — C.18-28
7. François Auger, Paulo Gonçalvès, Time-Frequency Toolbox For Use with MATLAB / François Auger, Patrick Flandrin, Paulo Gonçalvès, Olivier Lemoine // Technical documentation. -CNRS (France). — Rice University (USA). −1996
8. Марпл-мл. С.Л. Цифровой сигнальный анализ и его приложения. Под ред. И.С. Рыжака. —М.: Мир, 1990, 584 с