Ударный спектр и интегралы Дюамеля

Ударный спектр (Shock Spectrum) согласно ГОСТ 8.127-74 «Измерения параметров ударного движения» — это зависимость пиковых откликов ряда резонаторов, возбуждаемых рассматриваемым ударным воздействием, от собственных частот резонаторов [1]. В международном стандарте ISO 18431-4:2007(E) указываются передаточная характеристика и коэффициенты фильтра, который соответствует осциллятору с одной степенью свободы (SDOF) [2]. В работе Субботина С. Г. и Мельниковой А. Ю. «Спектральные характеристики для сравнения и идентификации ударных нагружений» было выведено, что ударный спектр соответствует максимальным значения текущей спектральной характеристики Дюамеля, то есть спектру Дюамеля [3].

В данной работе изложены физический смысл ударного спектра, расчёты и графики ударных спектров стандартных ударных воздействий [4] на основе расчёта по методу Смоллвуда [3] и по интегралу Дюамеля, сравнение результатов работы обоих методов. Приведена таблица с характеристиками ударных спектров стандартных ударных импульсов.

Ударный спектр. Физический смысл

При испытании любых изделий на прочность или устойчивость к вибрации обычно используют гармонический синусоидальный сигнал с качанием частоты, что позволяет при небольших материальных затратах и несложных алгоритмах выяснить передаточную характеристику испытуемого изделия, частоты резонансов и их добротность. Следующим по частоте использования являются испытания на одиночные и многократные ударные воздействия. В результате испытаний на ударные воздействия помимо оценки повреждений и разрушений вычисляется импульсная характеристика испытуемого изделия. Основное отличие между испытаниями гармоническим синусоидальным воздействием и ударным воздействием заключается в том, что в первом случае на протяжении всех испытаний действует внешняя возбуждающая сила, действующая со своей частотой, а во втором случае после короткого воздействия возбуждаются внутренние колебательные системы с собственными частотами (рисунок 1) и исследуется отклик на воздействие. Если не учитывать временные задержки при распространении механических волн в изделии, то передаточная характеристика будет соответствовать импульсной, но в реальных изделиях импульсная характеристика отличается от передаточной. Поэтому при анализе ударных воздействий используется характеристика, включающая в себя задержку входного воздействия.

На рисунке 1 изображена обобщённая схема, используемая для моделирования вычисления ударного спектра. Представьте себе платформу, на которой закреплено множество различных осцилляторов с единичной степенью свободы с различной резонансной частотой. У каждого осциллятора своя частота собственных колебаний и эти частоты покрывают интересующий нас диапазон с разумной точностью. Платформа подвергается краткосрочному ударному воздействию сигналом подобному, изображённому внизу рисунка 1. Каждый осциллятор отреагирует на это воздействие по-своему. Для каждого осциллятора определяется максимальное мгновенное значение отклика на входное воздействие в течение некоторого времени. Если упорядочить максимальные во времени значения откликов по значениям собственной частоты осцилляторов, то получится ударный спектр.

Необходимо отметить, что один и тот же ударный спектр может порождаться множеством различных ударных импульсов. Вне зависимости от формы входного импульса ударный спектр показывает максимальные перенапряжения в испытуемом изделии, но характер усталостных повреждений может существенно различаться в разных испытаниях. Из совокупности испытаний на удар, описанных в стандартах ГОСТ, МЭК и ISO можно выделить испытания на, так называемый, «классический удар», в котором достаточно жёстко задаётся форма ударного импульса. Следовательно ударные спектры будут также жёстко определены.

Общее представление о вычислении ударного спектра, ударный спектр и интегралы Дюамеля

Рисунок 1. Общее представление о вычислении ударного спектра

В работе [3] указывается, что отклики сложной системы с различным количеством степеней свободы связаны с интегралами Дюамеля. В случае системы с одной степенью свободы формула вычисления спектральной характеристики Дюамеля выглядит достаточно просто для интегрирования и понимания:

Формула (1)

Для того, чтобы получить ударный спектр необходимо выбрать из спектральной характеристики Дюамеля для каждой частоты максимальные по времени значения

Формула (2)

где f(τ) — анализируемый ударный процесс. Необходимо добавить, что приведённая формула вычисления ударного спектра как спектра Дюамеля не учитывает демпфирование. В таблице 1 приведены аналитические формулы ударных спектров для импульсов стандартной формы при испытаниях на одиночный удар.

ударный спектр и интегралы Дюамеля

Схема ударного спектра

На рисунке 2 приведены примеры вычисления интеграла Дюамеля для треугольного ударного импульса на двух частотах, соответствующих первым двум «горбам» на графике ударного спектра, а на рисунке 3 приведён двумерный график спектральной характеристики Дюамеля. На этих графиках хорошо видно, что максимума ударный спектр достигает не в момент максимального пикового значения ударного импульса, а после него. Таким образом, ударный спектр определяет максимальный отклик «внутренних резонаторов» на входной импульс без учёта временных задержек воздействия, что даёт более подробную информацию об испытуемом изделии.

Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля, ударный спектр и интегралы Дюамеля

Рисунок 2 a). Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля на частоте w1=1,8·w0


Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля, ударный спектр и интегралы Дюамеля

Рисунок 2 б). Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля на частоте w2=3,0·w0


Двумерная спектральная характеристика треугольного ударного импульса, ударный спектр и интегралы Дюамеля

Рисунок 3. Двумерная спектральная характеристика треугольного ударного импульса

На рисунке 4 изображены ударные спектры сигналов, представленных в таблице 1, рассчитанные по указанным формулам. Характерной особенностью всех этих спектров является то, что они по форме напоминают частотную характеристику фильтра высоких частот. Это закономерный результат, так как для возбуждения любого осциллятора необходим импульс продолжительностью не менее периода его собственных колебаний. Поэтому в области низких частот мы наблюдаем наклон графика 12 дБ на октаву. На высоких частотах ударный спектр стремится к постоянному значению, равному максимальному значению в реализации ударного воздействия. То есть, относительно периода собственных колебаний длительность ударного импульса существенно больше и ударный импульс представляет собой внешнее воздействие, которое заставляет колебаться систему по закону ударного импульса. В области средних частот, то есть в области вокруг основной частоты ударного импульса, значение ударного спектра представляет наибольший интерес для исследования. Кроме того, подобие графиков объясняется тем, что не зависимо от формы классический удар представляет собой «дельта-импульс», Фурье-спектр которого содержит всю полосу частот. От формы зависят лишь коэффициенты частотных полос, влияющие в итоге на значения ударного спектра.

На рисунке 5 изображены графики ударных спектров тех же самых ударных импульсов, рассчитанные по методу Смоллвуда [5]. В отличии от графиков на рисунке 4 графики на рисунке 5 имеют наклон в области низких частот 6 дБ на октаву и «завал» на частоте 3 кГц. В области средних частот, то есть в области представляющей наибольший интерес для исследования, графики практически идентичны.

Таким образом, в реальных условиях крутизна наклона зависит от метода расчёта ударного спектра (от 6 до 12 дБ на октаву) и от испытательного стенда. Тем не менее, характерные точки на графиках ударных спектров (частоты и амплитуды локальных максимумов и минимумов) остаются постоянными. Поэтому оба метода могут быть использованы для вычисления ударного спектра. В таблице 2 приведены коэффициенты для определения параметров первого локального максимума и минимума (если они есть) относительно амплитуды ударного воздействия и собственной частоты ударного импульса.

В заключение стоит сказать пару слов об ударном импульсе классической формы. Он обладает такими достоинствами, как стабильность и воспроизводимость. Стабильность обеспечивается однозначностью расчёта интеграла, а воспроизводимость — вычислением необходимой длительности и пикового значения импульса по таблице 2. Основная трудность при воспроизведении импульсов классической формы на вибростенде состоит в том, чтобы добиться равенства нулю ускорения, скорости и перемещения в начале и в конце импульса. Обычно для этого используют компенсирующие импульсы в начале и в конце основного импульса. Тем не менее, удары классической формы более требовательны к возможностям аппаратуры, чем импульсы в виде затухающей синусоиды или колебаний сложной формы [7].


полусинусоидальный импульс

пилообразный возрастающий импульс

пилообразный ниспадающий импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
прямоугольный импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
треугольный импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
трапецеидальный импульс

Рисунок 4. Ударные спектры стандартных импульсов, рассчитанные аналитически

ударный спектр и интегралы Дюамеля
полусинусоидальный импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
пилообразный возрастающий импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
пилообразный ниспадающий импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
прямоугольный импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
треугольный импульс
ударный спектр и интегралы Дюамеля
трапецеидальный импульс

Рисунок 5. Ударные спектры стандартных импульсов, рассчитанные методом Смоллвуда [5]

Таблица 2. Характерные точки на ударных спектрах стандартной формы. В таблице указаны коэффициенты для частот относительно собственной частоты fc=1/(2T) Гц, а для ускорения относительно пикового значения входного импульса в единицах g.

Тип импульса Частота первого пика Амплитуда первого пика Частота первого провала Амплитуда первого провала
Полусинусоидальный 1,619 1,768 5,0 1,0
Пилообразный возрастающий 1,432 1,217 2,456 0,872
Пилообразный ниспадающий* 1,482 2,0
Треугольный 1,809 1,517 4,321 0,954
Трапецеидальный 1,440 1,944 8,0 1,0
Прямоугольный* 0,636 2,0
* График ударного спектра получается неубывающий, поэтому частота и амплитуда первого локального минимума отсутствуют, частота первого пика показывает частоту перегиба (-3 дБ).

Автор: Бегишев С. В.

ЛИТЕРАТУРА:
1. ГОСТ 8.127-74. Измерения параметров ударного движения. — М.: Издательство стандартов, 1974. — 14с.
2. ISO 18431-4:2007(E). Mechanical vibration and shock — Signal processing — Part 4: Shock-response spectrum analysis.
3. Субботин С. Г., Мельникова А. Ю. Спектральные характеристики для сравнения и идентификации ударных нагружений. — «заводская лаборатория. Диагностика материалов» № 12. 2009. Том 75. с 53.
4. ГОСТ 28213-89. Испытания Ea Одиночный удар. — М.: Издательство стандартов, 1989. — 34с.
5. David Smallwood, An Improved Recursive Formula For Calculating Shock Response Spectra. «The Shock And Vibration Bulletin», Bulletin No. 51, Part 2, May 1981.
6. Челомей В.Н. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах — М. «Машиностроение», 1981. Том 5. С 478.
7. ГОСТ Р 53190-2008. Испытания на удар с воспроизведением ударного спектра.