Расчет главных напряжений и эквивалентного напряжения для плоского напряженного состояния

В инженерной практике оценка прочности конструкций и элементов оборудования невозможна без анализа их напряжённого состояния. В реальных условиях нагружения материал, как правило, испытывает не одноосное, а сложное комбинированное воздействие, которое приводит к формированию плоского или объёмного напряжённого состояния. Для корректного описания таких случаев используются компоненты тензора напряжений, на основе которых определяются главные напряжения и эквивалентное напряжение.

Главные напряжения позволяют выявить максимальные и минимальные нормальные напряжения в рассматриваемой точке и определить наиболее опасные направления действия внутренних сил. Это особенно важно при анализе разрушения материалов, чувствительных к растяжению, а также при оценке вероятных направлений развития трещин.

Эквивалентное напряжение, в свою очередь, применяется для приведения сложного напряжённого состояния к условному одноосному эквиваленту. Такой подход позволяет выполнять проверку прочности по выбранному критерию текучести или разрушения (например, по критерию Мизеса), используя стандартные допускаемые значения для материала.

где
E – модуль упругости материала, МПа;
ν – коэффициент Пуассона;
ε_x, ε_y и ε_xy – относительные деформации, измеренные тензорезисторами, наклеенными под углами 0°, 90° и 45° соответственно.

Величину τ_xy также можно представить в виде:

где
G – модуль сдвига, МПа;
γ_xy – сдвиговая деформация.
Главные напряжения в плоскости xy находятся по формуле:

при этом σ₁ – наибольшее алгебраическое значение (с учетом знака), а σ₂ – наименьшее.

Эквивалентное напряжение вычисляется по формуле Мизеса через компоненты тензора:

либо через главные напряжения:

Данные формулы справедливы и корректны только для плоского напряженного состояния, а именно:

• нет изгиба (тензорезисторы на поверхности показывают то же, что и внутри)
• толщина образца много меньше его плоских размеров (как правило, h/L < 0.1)
• измерения на свободной поверхности (на нее нет давления, т.е. составляющие σ_z, τ_xz и τ_yz тензора равны 0)

В программном обеспечении ZETLAB расчет эквивалентного напряжения по измеренным относительным деформациям может быть выполнен в программе «Формула».

Конфигурация программы может быть загружена в виде xml-файла со следующим содержимым:

<?xml version=»1.0″?>

<ZetFormula>

                <Channel name=»E» unit=»МПа» formula=»200000″ max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

                <Channel name=»ν» unit=»раз» formula=»0.3″ max_level=»1″ min_level=»0.00100000005″ reference=»1″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

                <Channel name=»σx_1″ unit=»МПа» formula=»&lt;E> / (1 — &lt;ν> * &lt;ν>) * (&lt;εx_1> + &lt;ν> * &lt;εy_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

                <Channel name=»σy_1″ unit=»МПа» formula=»&lt;E> / (1 — &lt;ν> * &lt;ν>) * (&lt;εy_1> + &lt;ν> * &lt;εx_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

                <Channel name=»τxy_1″ unit=»МПа» formula=»&lt;E> / (1 + &lt;ν>) / 2 * ( 2 * &lt;εxy_1> — &lt;εx_1> — &lt;εy_1> )» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

                <Channel name=»σэкв_1″ unit=»МПа» formula=»sqrt( &lt;σx_1> * &lt;σx_1> + &lt;σy_1> * &lt;σy_1> — &lt;σx_1> * &lt;σy_1> + 3 * &lt;τxy_1> * &lt;τxy_1>)» max_level=»1000000″ min_level=»1″ reference=»9.99999997e-07″ sampling=»1″ x=»0″ y=»0″ z=»0″ />

</ZetFormula>

Канал <E> – канал для задания модуля упругости;

Канал <ν> – канал для задания коэффициента Пуассона;

Канал <σx_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <σy_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <τxy_1> – канал с результирующим значением составляющей тензора напряжений;

Канал <σэкв_1> – канал с результирующим значением эквивалентного напряжения.